Studium filosofie: Posloupnosti

http://cs.wikipedia.org/wiki/Geometrick%C3%A1_posloupnost

Geometrická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde každý člen kromě prvního je stálým násobkem předchozího členu. Tento násobek se nazývákvocient geometrické posloupnosti a pro posloupnosti s nenulovými členy je roven podílu libovolného členu kromě prvního a členu předchozího.

Geometrickou posloupnost s nezápornými členy lze chápat jako zúžení exponenciální funkce na obor přirozených čísel (připouštíme však i základ 0 a 1) a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností.

Pro vyjádření n-tého členu geometrické posloupnosti s kvocientem q lze použít různé vztahy.

Rekurentní zadání

Geometrické posloupnosti lze definovat jako řešení lineární rekurentní rovnice 1. řádu s konstantními koeficienty:

a_{n+1} =a_n \cdot q

Řešením lze zjistit vzorec pro libovolný člen:

\quad a_2=a_1\cdot q, \quad a_3 = a_1\cdot q^2, \quad \ldots, \quad a_n=a_1 \cdot q^{n-1}

První člen a₁ má libovolnou hodnotu (je to tzv. počáteční podmínka), obecný vztah pro n-tý člen se dokáže snadno matematickou indukcí.

Zadání vzorcem pro n-tý člen

a_n=a_1 \cdot q^{n-1}

Pro případ

q=0

používáme

0^0=1

Příklad

Například je-li

a_1 = 2, q = 3

, pak několik prvních členů geometrické posloupnosti je: 2, 6, 18, 54, 162, 486 …

Pro

a_1 = 1, q = -1

se jedná o posloupnost 1, -1, 1, -1, ...

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti se vypočítá (pro q≠1):

s_n = a_1 \cdot \frac{q^n-1}{q-1} = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}

a pro q=1 samozřejmě (jedná se pak o konstantní aritmetickou posloupnost):

s_n = n \cdot a_1

Tento zvláštní případ lze také dostat z předchozího vzorce limitním přechodem pro

q \to 1

Vztahy platí v libovolném komutativním tělese, např. komplexních čísel.

Příklad

Součet prvních pěti členů posloupnosti z předchozího příkladu (

a_1 = 2, q = 3

) je:

s_5 = 2 \cdot \frac{3^5-1}{3-1} = 242

http://cs.wikipedia.org/wiki/Aritmetick%C3%A1_posloupnost

Aritmetická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde je stálý rozdíl mezi sousedními členy. Tento rozdíl mezi libovolným členem kromě prvního a předcházejícím členem se obvykle značí d a nazývá diference.

Aritmetickou posloupnost lze chápat jako lineární funkci definovanou v oboru přirozených čísel a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností.

Zobecněním je aritmetická posloupnost vyššího řádu (někdy též vyššího stupně), jejíž i-tý člen lze vyjádřit jako hodnotu nějakého pevného polynomu pro danéi. Řád aritmetické posloupnosti pak definujeme jako stupeň tohoto polynomu, přičemž posloupnost samých nul má řád -1.

V následujících vzorcích označuje